球体的表面积公式与体积公式全解析

2026-07-02

考试政策相关的内容，定位词用考试政策，开头句式年份省略因为原标题无年份，省份也省略。原标题是”球体的表面积怎么求”，核心主题是球体的表面积。学习立体几何时，球体的表面积计算是必须掌握的内容。今天小编整理的内容围绕球体表面积公式展开，包含完整的推导过程。推导思路是将上半球切成n份等高部分，每个部分视为类似圆台，其侧面积计算后累加再乘以2，得到整个球的表面积。文章还列举了球体的五个基本特征供参考。感兴趣的朋友和小编来看一下吧

球体的表面积公式与体积公式全解析

球体表面积的公式：S(球面)=4πr^2。

推导过程：把一个半径为R的球的上半球横向切成n份，每份等高，并且把每份看成一个类似圆台，其中半径等于该类似圆台顶面圆半径，则从下到上第k个类似圆台的侧面积：S(k)=2πr(k)×h。

其中r(k)=√[R^2-(kh)^2]，S(k)=2πr(k)h=(2πR^2)/n，则S=S(1)+S(2)+S(n)=2πR^2;乘以2就是整个球的表面积4πR^2。

球体的体积公式：

半径是r的球的体积计算公式是：V=4/ 3πr。

公式中，V为球体体积，π为圆周率3.1415926，r为球体的半径。

球体的特征

1、球体表面上任意一点,到球心的距离都相等

2、球体投影无论哪个方向都为圆形

3、球体中心到表面的距离都相等

4、球心和截面圆心的连线垂直于截面

5、球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r有下面的关系：r^2=R^2-d^2

球体的相关定义

1)在空间中到定点的距离等于或小于定长的点的集合叫做球体，简称球。(从集合角度下的定义)

2)以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球。(从旋转的角度下的定义)

3)以圆的直径所在直线为旋转轴，圆面旋转180°形成的旋转体叫做球体，简称球。(从旋转的角度下的定义)

4)在空间中到定点的距离等于定长的点的集合叫做球面即球的表面。这个定点叫球的球心，定长叫球的半径。在球面上，两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做两点的球面距离。

事业单位职测数量关系最小公倍数考点梳理

1.周期循环问题

例1甲、乙、丙三人到科技馆参加课外活动，甲每隔3天去一次，乙每隔5天去一次，丙每隔9天去一次，这次他们三人在科技馆见面是星期五，那么他们三个下次在科技馆见面是星期几?

A.星期一 B.星期二 C.星期三 D.星期四

答案B。解析：根据题意，甲每隔3天去一次即每过4天去一次，乙每隔5天去一次即每过6天去一次，丙每隔9天去一次即每过10天去一次。则三人下次在科技馆同时见面，需要经过的天数为4、6、10的最小公倍数——60天。又60÷7=8……4，星期五往后4天，即星期二，故选B。

小结1：对于周期循环问题，已知多个主体的循环周期，研究公共的循环周期，本质上是研究最小公倍数。

2.多者合作问题

例2修一条水渠，甲队单独修12天完成，乙队单独修18天完成。甲队单独做4天后，剩下的由甲、乙两队合作完成。已知修这条水渠共得工程款7500元，工程款按工作量分配，则甲队得到的工程款是?

A.2500元 B.3500元 C.4500元 D.5500元

答案D。解析：设这条水渠的工作总量为36(12和18的最小公倍数)，则甲队的效率为36÷12=3，乙队的效率为36÷18=2。甲队单独做4天，完成的工作量为3×4=12。剩下的由甲、乙两队合作，需要(36-12)÷(3+2)=4.8天，那么甲队总共完成的工作量为12+4.8×3=26.4。根据工作量分配工程款，则甲得到的工程款为26.4÷36×7500=5500元，故选D。

小结2：对于多者合作问题，已知多个主体各自的完工时间，我们可以将工作总量设为各个完工时间的最小公倍数，进而表示出效率再求解。

3.植树问题

例3甲乙两人从一条长100米的路的一端开始植树，甲每隔4米种一棵，乙每隔5米种一棵，且同一位置不可重复种树。问一共能种多少棵树?

A.39 B.40 C.41 D.42

答案C。解析：甲每隔4米种一棵树，共种100÷4+1=26棵;乙每隔5米种一棵树，共种100÷5+1=21棵。又4、5的最小公倍数为20，100÷20+1=6，可知甲乙两人植的树会有6棵重合。则一共能种树26+21-6=41棵，故选C。

小结3：对于植树问题，已知两个不同的植树间距，两个间距的最小公倍数，便是重合植树的间距。

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